JĂŒrg
Kramer
HU
 Rationale Lösungen polynomialer Gleichungen
Abstract.
Ist  f(X)  ein Polynom in der Variablen  X  mit komplexen Koeffizienten, so besagt der Fundamentalsatz der Algebra, dass  f mindestens eine komplexe Nullstelle besitzt, sobald der Grad von  f positiv ist. In der Zahlentheorie interessiert die Frage, wie es um die Existenz rationaler Nullstellen von  f steht, wenn f rationale Koeffizienten hat. Die Antwort darauf wird im Wesentlichen durch das Lemma von GauĂ gegeben. In unserem Vortrag gehen wir nun der analogen Frage nach, wenn  f = f(X,Y)  ein Polynom mit rationalen Koeffizienten in zwei Variablen ist. Wir werden dabei finden, dass â generisch gesehen â solche Polynome (unendlich) viele rationale Nullstellen haben, wenn deren Grad âkleinâ ist, wogegen sie höchstens endlich viele rationale Nullstellen besitzen, falls deren Grad âgroĂâ ist. Um diese qualitativen Sachverhalte quantitativ genauer zu verstehen, werden wir uns vom IrrationalitĂ€tsbeweis von  â2  mit Hilfe von Fermats unendlichem Abstieg inspirieren lassen. Diese Ăberlegungen werden uns auch zu interessanten zahlentheoretischen Fragestellungen fĂŒhren, wie beispielsweise dem Kongruenzzahlproblem, die Gegenstand aktueller mathematischer Forschung sind.